Prove que, se vec u != vec 0 , então p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w , para quaisquer vec v , vec w , alpha e beta .

Passo 1

O exercício pede para provarmos que

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w

Para isso, basta usar a fórmula da projeção:

p r o j_vec u vec v = (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Passo 2

Assim, temos que

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = ((alpha vec v + beta vec w) * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Fazendo a distributiva no produto escalar:

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u + beta (vec w * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Passo 3

Mas note que

(vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u = p r o j_vec u vec v e (vec w * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u = p r o j_vec u vec w

Assim,

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w

Resposta

Demonstração.

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