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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 59

Prove que, se vec u != vec 0 , então p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w , para quaisquer vec v , vec w , alpha e beta .

Passo 1

O exercício pede para provarmos que

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w

Para isso, basta usar a fórmula da projeção:

p r o j_vec u vec v = (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Passo 2

Assim, temos que

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = ((alpha vec v + beta vec w) * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Fazendo a distributiva no produto escalar:

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u + beta (vec w * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Passo 3

Mas note que

(vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u = p r o j_vec u vec v e (vec w * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u = p r o j_vec u vec w

Assim,

p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w

Resposta

Demonstração.

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Determine |a| , a + b , a - b , 2 a e 3 a + 4 b a = i - 2 j + k , b = j + 2 k
Determine |a| , a + b , a - b , 2 a e 3 a + 4 b a = ⟨6,2 , 3⟩ , b = ⟨- 1,5 , - 2⟩
Determine |a| , a + b , a - b , 2 a e 3 a + 4 b a = 3 i - 2 k , b = i - j + k
Determine |a| , a + b , a - b , 2 a e 3 a + 4 b a = 2 i - 3 j , b = i + 5 j
Determine |a| , a + b , a - b , 2 a e 3 a + 4 b a = ⟨- 4,3⟩ , b = 6,2