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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 5

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = 4 x - 3 x 2 ,       ( 2 , - 4 )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

y = 4 x - 3 x 2

E pede pra a gente achar a equação da reta tangente de y no ponto ( 2 , - 4 ) . Como podemos fazer isso?!

A equação da reta tangente de y no ponto x = a é:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Sendo que f ' a é a inclinação da reta tangente quando x = a , também chamada de m .

Pela definição de derivada, temos que:

f ' a =   lim x →  a ⁡ f x - f ( a ) x - a

Agora bora colocar a mão na massa?! 😉

Passo 2

Dessa forma, fazendo a = 2 , temos:

f 2 = 4 2 - 3 2 2

Substituindo a equação acima na definição da derivada, temos:

f ' 2 =   lim x →  a ⁡ 4 x - 3 x 2 - 4 2 - 3 2 2 x - 2 ∴

f ' 2 =   lim x → 2 ⁡ 4 x - 3 x 2 + 4 x - 2

Se substituímos o x = 2 direto caímos em uma indeterminação (uma divisão por zero), então vamos manipular a nossa equação.

Fatorando o numerador, temos:

f ' 2 = l i m x → 2 - 3 x + 2 x - 2 x - 2 ∴

Simplificando a nossa expressão, encontramos:

f ' 2 = l i m x → 2   - 3 x - 2

Agora podemos aplicar o limite:

f ' 2 = l i m x → 2   - 3 2 - 2 ∴

f ' 2 = - 8

Achamos a inclinação da reta, agora é só substituir na relação da reta!!

Passo 3

Lembrando que a reta tangente é dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Já sabemos que f ' 2 = - 8 .

Levando para o nosso caso, temos o ponto ( 2 , - 4 ) , então:

y - - 4 =   - 8 x - 2 ∴

y + 4 =   - 8 x + 16 ∴

y = - 8 x + 12

Prontinho!

Resposta

y = - 8 x + 12

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