Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 53

Use a definição de derivada para encontrar . A seguir, trace , e em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

Pede pra a gente calcular pela definição de derivada, traçar os gráficos de e e no final a gente precisa analisar esses gráficos pra ver se eles fazem sentido!

Vamos relembrar a definição de derivada:

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso.

Para calcular é só a gente usar a fórmula acima de novo, só que agora em cima de , beleza?!

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira. Substituindo nossa função na definição de derivada:

Abrindo:

Isolando o :

Depois que a gente cortar o já podemos calcular o limite:

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada em e encontrar , teremos que:

Substituindo:

Passo 4

Agora plotamos os gráficos:

Podemos comparar alguns pontos chaves que poderíamos esperar da função e suas derivadas primeira e segunda com as curvas ai de cima!

Primeiro é decrescente, portanto a inclinação de suas tangentes vão ser negativas. Depois ela chega a um ponto mínimo onde a tangente será horizontal, logo e em seguida ela passa a ser crescente, logo com inclinação da reta tangente positiva!

Poderíamos esperar uma reta de que primeiro tem valores negativos, corta e segue com valores positivos! E é o que temos!

Agora, se é uma reta, então ela tem inclinação constante, certo?! Ou seja, pra todo teremos o mesmo valor de em . Esse é exatamente o resultado que a curva acima mostra!