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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 5

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado

y = x - 1 x - 2   ,   ( 3,2 )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Bora resolver essa atividade?

Aqui nos é pedido para encontrarmos uma equação tangente a curva dada, no ponto dado.

y = x - 1 x - 2 ,     3,2

Parece complicado?

A equação da reta tangente a uma função é dada por

y - y 1 = m x - x 1

Onde x 1 e y 1 são as coordenadas do ponto pelo qual a reta tangente passa e m é a inclinação da reta.

Calcularemos pela definição 1 o valor da inclinação da tangente

Então

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos obter a inclinação m .

Se f x = x - 1 x - 2 e a = 3 , temos que

m = lim x → a ⁡ f x - f a x - a → m = lim x → 3 ⁡ x - 1 x - 2 - 3 - 1 3 - 2 x - 3

m = lim x → 3 ⁡ x - 1 x - 2 - 2 x - 3

Realizando o m m c :

m = lim x → 3 ⁡ x - 1 - 2 ⋅ x - 2 x - 2 x - 3

Organizando a equação com a fração:

m = lim x → 3 ⁡ x - 1 - 2 x + 4 x - 3 ⋅ x - 2

m = lim x → 3 ⁡ - x + 3 x - 3 ⋅ x - 2  

Utilizando de artimanha matemática para que possamos simplificar:

m = lim x → 3 ⁡ - x + 3 - - x + 3 ⋅ x - 2

m = lim x → 3 ⁡ - 1 x - 2 = - 1 3 - 2 = - 1

Agora, calcularemos a equação da reta tangente:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

Sendo o ponto por qual a reta tangente deva passar ( 3,2 ) :

y - 2 = - 1 ( x - 3 )

y - 2 = 3 - x

y = - x + 5

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y = - x + 5

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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado. y = e x x , 1 , e