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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 19

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

x y = c o t g x y

Passo 1

A questão dá uam equação que fornece y implicitamente como função de x . Devemos então derivá-la implicitamente para obter y ' .

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação x y = c o t g x y com relação a x , temos que

1 * y + x * y^' = - c o s s e c^2 x y * ( x y ) '

Assim,

y + x y^' = - c o s s e c^2 x y * ( y + x y^' )

*Lembrando que a derivada da cotangente é menos cossecante ao quadrado!!!

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y + x y^' = - y c o s s e c^2 x y - x c o s s e c^2 x y y '

y^' (x + x c o s s e c^2 x y) = - y c o s s e c^2 x y - y

y^' = - (y (1 + c o s s e c^2 x y))/(x (1 + c o s s e c^2 x y)) = - (y)/(x)

Resposta

R: y^' = - (y)/(x)

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