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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 4

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:

x = t - t - 1

y = 1 + t 2

t = 1

Passo 1

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada.

Quando falamos sobre equação da reta tangente, estamos falando sobre derivadas. A equação de uma reta tangente a uma curva é dada por:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Em que x 0 ,   y 0 é o ponto que queremos que a nossa reta seja tangente, e costuma ser dado na questão, no nosso caso é o ponto:

t = 1

Já m é o coeficiente angular da reta, e é dado por:

d y d x = d y d t d x d t

Sendo assim, precisaremos derivar aqui. Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamos começar pela derivada de y :

y = 1 + t 2

d y d t = 2 t

Agora a derivada de x :

x = t - t - 1

d x d t = 1 + t - 2

d x d t = 1 + 1 t 2

d x d t = t 2 + 1 t 2

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t

Temos então:

d y d x = 2 t t 2 + 1 t 2

Organizando as frações:

d y d x = 2 t 3 t 2 + 1

Em t = 1 , que é ponto que queremos a nossa reta seja tangente:

d y d x = 2 ⋅ 1 3 1 2 + 1

d y d x = 1

Passo 3

Agora a gente precisa do ponto de tangencia. Para isso é só substituir t = 1 na parametrização da curva, pois a gente quer descobrir qual o ponto é esse que nossa curva é tangente em t = 1 :

x 1 = 1 - 1 - 1 = 0

y 1 = 1 + 1 2 = 2

E temos o ponto ( 0,2 )

Passo 4

E pronto! Agora temos tudo que precisamos para encontrar a equação da reta tangente. É só substituir na fórmula:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 2 = 1 ( x - 0 )

y = x + 2

Resposta

y = x + 2

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