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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.5 - Ex. 10

10. Resolva a equação diferencial y^' + y = s e n (e^x)

Passo 1

Temos que a EDO é linear com P (x) = 1 e Q (x) = s e n ( e^x )

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int 1 d x) = e^x .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = e^x e que Q (x) = s e n (e^x) .

Passo 4

Então precisamos calcular int e^x s e n (e^x) d x . Fazendo u = e^x , temos que d u = e^x d x e portanto:

int e^x s e n (e^x) d x = int s e n (u) d u = - cos u = - c o s ( e^x )

E por fim, a solução é:

y (x) = (1)/(e^x) [- cos (e^x) + C]

Resposta

y (x) = (1)/(e^x) [- cos (e^x) + C]

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