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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 6

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ ,   y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ ; θ = 0

Passo 1

Olá, meu querido. Então vamos resolver mais uma atividade juntos hoje.

Veja que aqui temos a seguinte curva parametrizada:

x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ

y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ

E queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva, no ponto:

θ = 0

A equação da reta tangente a um ponto é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Em que m é o coeficiente angular da reta e y 0 e x 0 são os pontos de tangencia.

Para encontrarmos uma equação para a reta tangente a curva no ponto θ = 0 , podemos utilizar a regra da cadeia:

d y d θ = d y d x ∙ d x d θ

Isolando d y d x que corresponde a inclinação da reta tangente temos:

m = d y d x = d y / d θ d x / d θ

Após descobrirmos a equação de m , iremos substituir θ = 0 na equação e assim descobrirmos o valor de m .

Para descobrir quem são x 0 e y 0 iremos substituir θ na equação de x e de y .

Passo 2

Começando com o coeficiente angular da reta:

d y d θ = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ

d x d θ = - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Como queremos a reta tangente no ponto θ = 0 , então a inclinação da reta tangente a esse ponto é:

d y d x = d y d θ d x d θ

d y d x = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Substituindo o θ = 0 :

d y d x = 1 2

Passo 3

Desta forma para montarmos a equação da reta, podemos usar a relação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

onde m é a inclinação da reta e x 0 , y 0 é um ponto da reta.

Neste caso o ponto é:

x 0 = cos ⁡ 0 - 2 s e n   2 ∙ 0 = 1

y 0 = - s e n   0 + 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 = 2

Então a equação da reta tangente é:

y - 2 = 1 2 ( x - 1 )

y = 1 2 x + 3 2

Resposta

y = 1 2 x + 3 2

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