Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 9
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do ponto dado. A seguir, trace a curva e a reta tangente
Passo 1
Então, meu nobre amigo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a curva:
No ponto:
A equação da reta tangente é dada por:
Onde:
E o ponto:
É o ponto de tangencia e costuma ser dado na questão. Para a gente, é o ponto:
Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Beleza, então temos essas equações
Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro
Passo 3
Então nossa derivada fica:
Vamos só lembrar que
Show! Então como fica nossa derivada?
Passo 4
Como a gente derivou em relação a , a gente precisa encontrar o valor de que corresponde ao ponto de tangencia dado, após nós descobrirmos esse valor de , iremos então encontrar o valor da inclinação no ponto de tangencia:
Se , então nossa equação fica:
Então
Ou
Para descobrir isso vamos precisar usar nossa equação para
Precisamos que . Se , nossa fica . Só nos resta então a solução onde
Beleza! Vamos em frente, vamos plotar esse valor de t na nossa derivada
FINALMENTE ENCONTRAMOS O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE!
Passo 5
Agora, lembra como montamos uma equação de reta?
Onde esse são nossos pontos iniciais. E desta vez o nosso enunciado já nos deu os pontos:
Logo nossa equação da reta fica
Passo 6
Por fim, vamos desenhar esse gráfico e ver como ele se comporta geometricamente, vamos utilizar o GeoGebra para plotar esse gráfico:
A parábola é nossa função parametrizada. E a reta laranja é nossa reta tangente ao ponto P.
Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )