Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 17
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes
17.
Passo 1
Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:
Primeiro vamos encontrar:
Pelas relações trigonométricas:
Ficamos com:
E o r ficará:
Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:
Reescrevendo:
Passo 2
As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:
A solução terá três resultados:
E
Para , e
E para , e
Agora podemos calcular o valor de r para cada caso, primeiro para
As coordenadas cartesianas para serão:
Para :
Para
Para
Para
E para
Os pontos (-0,61, 0,27) e (0,61, 0,27) correspondem a uma reta que passa em dois pontos, assim como os pontos (-0,61, -0,27) e (0,61, -0,27). E os pontos (0, 1) e (0, -1) correspondem a outras duas retas.
Passo 3
As retas verticais obtemos igualando o denominador da equação da inclinação a zero, pois assim, a inclinação tenderia para infinito e a reta será vertical:
E teremos três resultados novamente:
E
Para
Para ,
E o r para o primeiro resultado, será:
E as coordenadas cartesianas:
Para :
Para :
Para :
Para
E para
Os pontos (0,27, -0,61) e (0,27, 0,61) correspondem a uma mesma reta, os pontos (-0,27, -0,61) e (-0,27, 0,61) também. Já os pontos (1, 0) e (-1, 0) correspondem a duas retas.
Passo 4
O esboço do gráfico então será:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)