Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 8
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
- Sem eliminar o parâmetro
- Primeiro eliminando o parâmetro
Passo 1
O objetivo da questão é encontrar a equação da tangente à curva definida por equações paramétricas em um ponto específico, utilizando dois métodos: sem eliminar o parâmetro e eliminando o parâmetro.
Como podemos fazer esses métodos? Se liga nos passos!
- Sem Eliminar o Parâmetro
- Eliminando o Parâmetro
Utilizamos as equações paramétricas e realizamos as derivadas de e em relação a ,
susbtituimos o valor de correspondente ao ponto dado para encontrar a inclinação.
Em que
Podemos expressar em termos em , ou vice versa, usando identidades trigonométricas
derivamos a equação cartesianas para encontrar a inclinação da tangente no ponto. Utilizamos a equação da reta tangente susbtituindos os termos encontrados.
Em que
É isso! Agora vamos resolver.
Passo 2
a) Sem eliminar o parâmetro, o vetor tangente à curva é dado por
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 3
Vamo começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula
Cortando o termo
Sendo
Pela propriedade de divesão de fração (repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração) e cortando temos.
Passo 4
Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.
Daí tiramos que
Substituindo no vetor tangente, temos:
Passo 5
Assim, a equação da reta tangente fica:
Passo 6
b) Agora temos que encontrar a mesma reta, só que eliminando o parâmetro .
Para isso, vamos usar a relação fundamental da trigonometria com tangente e secante, já que a gente não consegue isolar o .
Assim
E essa é a equação cartesiana que a nossa curva representa.
Repare que nossa curva tem duas partes, uma que está acima do eixo e outra que está abaixo. Mas como queremos saber a reta tangente num ponto especifico, que está acima do eixo vamos continuar daqui considerando somente a parte da curva que está acima do eixo, ok?
Passo 7
Agora para achar a reta tangente disso, é só fazer igual estamos acostumados no cálculo de uma variável. A gente deriva isso em relação a e depois substituiu na equação da reta.
Derivando:
No ponto de tangencia , assim:
Passo 8
E a equação da reta tangente no ponto fica:
Igual achamos pelo outro método!