Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 20
Descreva o movimento de uma partícula com posição quando varia no intervalo dado.
Passo 1
Fala ai galerinha. Tranquilo?
Nosso objetivo nessa questão é determinar a equação cartesiana de uma curva parametrizada pelas seguintes equações; . Além disso, deseja-se esboçar a curva no plano cartesiano e indicar a direção na qual a curva é traçada à medida que o parâmetro aumenta.
E o que podemos fazer para resolver?
- Identificar as equações paramétricas.
- Eliminar o parâmetro como a identidade trigonométrica
Fazer o esboço e analisar a direção a trajetória a partir do intervalo dado .
Vamos começar!
Passo 2
Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:
De acordo com o enunciado e , isolando os termos
Para
Para
Podemos substituir na identidade trigonométrica
Obtemos assim uma equação de uma circunferência centrada no ponto , com raio .
Passo 3
Como o intervalo de parametrização é
Significa que temos uma volta completa na circunferência.
Assim, quando e temos
Para
Para
Então nossa partícula começa e termina sua trajetória no ponto e se move no sentido anti-horário ao longo da circunferência.
Resposta
A partícula se move no sentido anti-horário ao longo da circunferência
Do ponto, ou seja, dá uma volta completa.