Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 7
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
- Sem eliminar o parâmetro
- Primeiro eliminando o parâmetro
Passo 1
Fala pessoal. Vamos para mais uma questão de reta tangente!
Vamos começar derivandos a equações paramétricas para substitui-las na equação da reta tangente.
A inclinação da reta à curva é dado por:
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Derivada de :
Derivada de :
Substituindo na fórmula
Passo 3
Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.
e
Da primeira equação tiramos que
Substituindo no vetor tangente, temos:
Passo 4
Assim, a equação da reta tangente fica:
Substituindo
Passo 5
b) Agora temos que encontrar a mesma reta, só que eliminando o parâmetro e depois derivar.
Para isso, vamos isolar o na equação do :
Agora podemos substituir isso na equação do :
E essa é a equação cartesiana que a nossa curva representa.
Passo 6
Agora para achar a reta tangente disso, é só fazer igual estamos acostumados no cálculo de uma variável.
A gente deriva isso em relação a e depois substituiu na equação da reta.
Derivando:
No ponto de tangencia , assim:
E a equação da reta tangente no ponto fica:
Igual achamos pelo outro método!
Resposta
- Demonstração.
- demonstração.