Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Para começar, vamos achar o que é .

Pela figura do passo 1, podemos ver que trata-se de:

Substituindo

Agora achando , pela figura, temos:

Substituindo , temos:

Para achar as tangentes horizontais, vamos primeiro derivar :

Igualando a zero, temos:

Passando o para o outro lado da equação:

Essa igualdade só ocorre quando , e isso ocorre nos ângulos

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar :

Igualando a zero

Substituindo , temos:

Utilizando a mudança de variável

Resolvendo a equação por Bhaskara

Substituindo :

Simplificando a fração por :

E

Agora vamos analisar um pouco...

Para o primeiro valor de , qual o que faz ?

Neste caso, não existem valores de reais, porque , e .

Então vamos focar no segundo valor de .

Qual o que faz ?

Para não ficarmos usando isso toda hora, vamos nomear esse valor de

Mas o só cobre metade do circulo trigonométrico e existe outro que satisfaz essa condição e esse ângulo é o suplementar de então:

Como não tivemos ângulos que tiveram e , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.

Para tangentes horizontais, com :

E, com , temos:

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato são e .

Para tangentes verticais, com , temos:

E, com , temos:

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato são

e