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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 61

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

r = 3 cos ⁡ θ

Passo 1

Fala pessoal. Tudo certinho? Bora resolver uma questão juntos?

Primeiro vou te passar os procedimentos que precisaremos fazer para resolver a questão.

1 – Obter a equação cartesiana da curva.

2 – Calcular a derivada.

3 – Identificar os pontos para a reta tangente ou vertical.

4 – Obter os pontos da curva.

Eai!? Mão na massa!

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente a uma curva polar r = f ( θ ) , vamos considerar o θ como um parâmetro e escrever suas euqaçãoes paramétricas como

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Então, usando o método para encontrar inclinações de curvas parametrizadas e a regra do produto, temos

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:

d y d θ = 0   e   d x d θ ≠ 0

Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:

d x d θ = 0   e   d y d θ ≠ 0

Passo 3

Para isso vamos achar o que é y ( θ )

y = r sen ⁡ θ

Substituindo r = 3 cos ⁡ θ  

y = 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Agora achando x ( θ ) , substiruindo r

x = r cos ⁡ θ

x = 3 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

x = 3 cos 2 ⁡ θ

Passo 4

Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar y usando a regra do produto

d y d θ = 3 ( - sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ )

Simplicando usando a relação cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

d y d θ = 3 cos ⁡ 2 θ

Igualando a zero

d y d θ = 0

3 cos ⁡ 2 θ = 0

Dividindo por 3

cos ⁡ 2 θ = 0

Passo 5

Analisando agora quais ângulos que fazem o cosseno zerar, o cosseno zera em π 2 e em 3 π 2 , então os possíveis ângulos com tangentes horizontais são:

2 θ 1 = π 2

θ 1 = π 4

2 θ 2 = 3 π 2

θ 2 = 3 π 4

Passo 6

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar x

d x d θ = 6 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = - 6 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Simplificando usando sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

d x d θ = - 3 sen ⁡ 2 θ

Igualando a zero

d x d θ = 0

- 3 sen ⁡ 2 θ = 0

Dividindo por - 3

sen ⁡ 2 θ = 0

Analisando agora quais ângulos que fazem o seno zerar, o seno zera em 0 e em π , então os possíveis ângulos com tangentes verticais são:

2 θ 3 = 0

θ 3 = 0

2 θ 4 = π

θ 4 = π 2

Passo 7

Como não tivemos ângulos que tiveram d y d θ = 0 e   d x d θ = 0 , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular r para cada θ achado.

Para tangentes horizontais, com θ 1 = π 4 e θ 2 = 3 π 4

r 1 = 3 cos ⁡ θ 1 = 3 cos ⁡ π 4 = 3 2 2

r 1 = 3 2 2

r 2 = 3 cos ⁡ θ 2 = 3 cos ⁡ 3 π 4 = 3 - 2 2

r 2 = - 3 2 2

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato ( r , θ ) são 3 2 2 , π 4 e - 3 2 2 , 3 π 4 .

Para tangentes verticais, com θ 3 = 0 e θ 4 = π 2

r 3 = 3 cos ⁡ θ 3 = 3 cos ⁡ 0

r 3 = 3

r 4 = 3 cos ⁡ θ 4 = 3 cos ⁡ π 2

r 4 = 0

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato ( r , θ ) são 3,0 e 0 , π 2 .

Resposta

Horizontais: 3 2 2 , π 4 e - 3 2 2 , 3 π 4 .

Verticais: 3,0 e 0 , π 2 .

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