Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 64
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:
Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:
Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:
Passo 2
Para isso vamos achar o que é
Substituindo
Agora achando , substiruindo
Passo 3
Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar usando a regra do produto
Colocanco em evidencia
Igualando a zero
Como a função exponencial nunca é igual a zero, podemos concluir que
Para reduzir os cálculos, podemos fazer uma analise mental desta igualdade. Quais os únicos ângulos em que o valor absoluto (sem considerar o sinal) do seno é igual ao valor absoluto do cosseno? Para os seguintes valores de : e .
Mas agora analisando os sinais, em quais quadrantes o seno tem o sinal contrário ao do cosseno? No segundo e no quarto quadrante.
Para finalizar o pensamento, quais ângulos deste estão no segundo ou quarto quadrante?
Passo 4
Para achar as tangentes verticais, vamos derivar
Colocanco em evidencia
Igualando a zero
Como a exponencial não pode ser zero
Utilizando a mesma análise das horizontais, mas desta vez o seno e o cosseno tem que ter sinais iguais. Quando isso ocorre?
Passo 5
Como não tivemos ângulos que tiveram e , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.
Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.
Para tangentes horizontais, com e
Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato são e .
Para tangentes verticais, com e
Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato são e .
Resposta
Horizontais: e .
Verticais: e .