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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 52

Quais são os valores de x para os quais o gráfico f x = x 3 + 3 x 2 + x + 3 tem tangentes horizontais ?

Passo 1

Falaii galerinha, bora resolver essa comigo?

O enunciado pede que encontremos os valores de x para os quais o gráfico da função f x = x 3 + 3 x 2 + x + 3 tem tangentes horizontais.

Uma tangente horizontal a uma curva ocorre em um ponto onde a inclinação da curva é zero. Matematicamente, isso significa que a derivada da função é igual a zero naquele ponto.

Então, para encontrar os valores de x para os quais o gráfico de f ( x ) tem tangentes horizontais, precisamos encontrar os valores de x para os quais a derivada de f ( x ) é zero.

Em resumo, o objetivo é encontrar os pontos onde a inclinação do gráfico de f ( x ) é zero, o que corresponde a encontrar os valores de x onde a derivada da função f ( x ) é zero.

Passo 2

Além disso, m = f ' x = 3 x 2 + 6 x + 1 = 0   .

Logo, resolvendo a equação do 2° grau obteremos.

Vamos utilizas a fórmula quadrática para encontrar as raízes

x = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

Onde

3 x 2 + 6 x + 1 = 0

a = 3 ,   b = 6   e   c = 1

x = - 6 ± 6 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 1 2 ⋅ 3

x = - 6 ± 36 - 12 2 ⋅ 3

x = - 6 ± 24 6

x = - 6 ± 2 6 6

São as abcissas para as quais a curva dada possui tangente horizontal.

x = - 1 ± 6 3

Resposta

x 0 =   - 1 + 6 3 ou x 0 = - 1 - √ 6 3

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