Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 38
Encontre equações da linha tangente e da linha normal para o curva no ponto dado.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão precisaremos encontrar as equações das retas tangente e normal no ponto da curva dada por:
Para encontrar a equação da reta tangente a uma dada curva em um ponto específico podemos usar a seguinte relação:
Sendo esse o valor da derivada da no ponto dado.
E para encontrar a equação da reta normal usaremos a seguinte informação da geometria analítica:
Em que é o coeficiente angular da reta normal que é igual ao negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente .
Então vamos lá.
Passo 2
Beleza, vamos começar encontrando a derivada da função
Podemos reescrevê-la como:
Agora, derivando pela regra do expoente, ficamos com:
E aplicando vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
Já o coeficiente da reta normal é:
Passo 3
Show de bola, a gente tem o ponto por onde as reta vão passar, que é:
E os coeficientes angulares:
Então vamos usar a equação da reta com o que já temos para encontrar o que falta. Para a reta tangente, temos:
E resolvendo ficamos com:
Ou melhor:
E essa é a equação da reta tangente.
Passo 4
Agora, de modo parecido para a reta normal, teremos:
E resolvendo ficamos com:
Ou melhor:
E essa é a equação da reta normal.