Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 62

Onde a linha normal da parábola y = x 2 - 1 no ponto ( - 1,0 ) cruza a parábola uma segunda vez? Ilustre com um esboço.

Passo 1

Bom galera, o problema quer saber se uma linha normal que passe pelo ponto ( - 1,0 ) da curva passa por algum outro ponto, para isso vamos encontrar a equação dessa linha normal.

A equação da linha é dada por:

y = a x + b

E a é o coeficiente angular da linha, e a gente pode encontrar por essa relação com a derivada:

- 1 f ' x = a

Passo 2

Beleza, a gente quer encontrar o coeficiente angular, para isso vamos usar a relação com a derivada para o x = - 1 que é o ponto de intersseção:

- 1 f ' - 1 = a

A gente deriva a função da curva rapidindo com a regra geral e da soma:

y = x 2 - 1

→ f ' ( x ) = 2 x

Vamos usar a relação e fica:

a = - 1 f ' - 1 = - 1 2 ( - 1 )

Então:

a = 1 2

Passo 3

Show de bola, a gente a gente já tem o ponto:

( - 1,0 )

E o coeficiente angular:

a = 1 2

Então vamos usar a equação da reta com o que já temos para encontrar o que falta:

y = a x + b

→ 0 = 1 2 - 1 + b

Assim encontramos:

b = 1 2

Passo 4

Continuando, nós só precisamos montar as equações com o que a gente encontrou:

y = x 2 + 1 2 → y = x + 1 2

A gente iguala essa equação com a da curva pra encontrar-mos as interseções:

x 2 - 1 = x + 1 2 → 2 x 2 - 2 = x + 1

→ 2 x 2 - 2 - x - 1 = 0 → 2 x 2 - x - 3 = 0

Resolvendo: 2 x 2 - x - 3 = 0

Encontramos x = 1,5 e x = - 1 . Como já usamos o x = - 1 , vamos calcular o ponto em x = 1,5 :

x = 1,5 → y = 1,25

Passo 5

Logo, o segundo ponto de interseção é 1,5 ,   1,25 . Fazendo um gráfico fica assim:

Resposta

Sim, no ponto 1,5 ,   1,25 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11.(a) Encontre a inclinação da tangente à curva y = 2 / ( x + 3 ) no ponto onde x = a .(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são (i) - 1 (ii) 0 e (iii)
7-10.Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y = 1 + 2 x - x 3 , ( 1,2 )
Considere a inclinação da curva em cada um dos cinco pontos dados. Classifique-os em ordem decrescente e explique seu raciocínio.Gráfico com aproximação, mas que mantém as propriedades das tangentes.
5.(a)Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x 3 no ponto ( - 1 , - 1 ) Usando a Definição 1Usando a Equação 2 (b) Encontra a equação da reta tangente da parte (a) (c) Faça um gráfico da cu
12.(a) Encontre a inclinação da tangente à parábola y = x 3 - 4 x + 1 nos pontos onde x = a .(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são ( 1 , - 2 ) e ( 2,1 ) (c)