Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.1 - Ex. 20
Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento de uma partícula que parte em (a, 0) e traça a elipse :
a. uma vez em sentido horário.
b. uma vez em sentido anti-horário.
c. duas vezes em sentido horário.
d. duas vezes em sentido anti-horário.
(Assim como no Exercício 19, pode haver muitas respostas corretas.)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - As equações paramétricas mais comuns para uma elipse com equação começando em são e e leva radianos para contorne a elipse uma vez, por isso . No entanto, ele traça a elipse no sentido anti-horário, em vez de no sentido horário (isso explica a resposta da parte b).
B - No início da tarefa, notamos que a equação dada é uma elipse com eixo maior a e eixo menor b. Para determinar a parametrização da elipse, vamos relembrar a identidade trigonométrica pitagórica. De acordo com a identidade trigonométrica pitagórica, a relação entre seno e cosseno é dada pela seguinte expressão
A equação de uma elipse com eixo maior igual a e eixo menor igual a é dada por:
Portanto, vamos introduzir a parametrização descrita acima:
A partícula percorrerá uma elipse uma vez, ou seja, o ângulo assumirá o valor de um ângulo completo uma vez. Como a medida de um ângulo completo é , o maior valor do ângulo será . Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo assume valores positivos.
Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,2π].
Concluímos que a parametrização da elipse quando a partícula se move ao longo dela duas vezes no sentido anti-horário é:
Passo 2
C - A equação de uma elipse com eixo maior igual a e eixo menor igual a é dada por:
Portanto, vamos introduzir a parametrização descrita acima:
A partícula percorrerá uma elipse duas vezes, ou seja, o ângulo assumirá o valor de um ângulo completo duas vezes. Como a medida de um ângulo completo é , o maior valor do ângulo será . Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo assume valores positivos. Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,4π]. Quando olhamos no sentido horário, sua medida é a mesma de quando olhamos no sentido anti-horário, apenas o sinal é negativo. Portanto, se incluirmos em vez de nas expressões
Onde . A função cosseno é uma função par e a função seno é ímpar. Portanto, podemos escrever as parametrizações anteriores como:
Passo 3
D - Como a partícula viaja no sentido anti-horário, o ângulo assume valores positivos. Portanto, concluímos que o ângulo t pode assumir todos os valores dentro do intervalo [0,4π]. Quando olhamos no sentido horário, sua medida é a mesma de quando olhamos no sentido anti-horário, apenas o sinal é negativo. Portanto, se incluirmos em vez de nas expressões
Onde . Concluímos que a parametrização da elipse quando a partícula se move ao longo dela duas vezes no sentido anti-horário é:
Resposta
Respondido acima!