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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 60

Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 57-64. Esboce cada círculo no plano coordenado e classifique-o com suas equações cartesianas e polares.

x 2 + ( y + 7 ) 2 = 49

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo usar as relações a seguir para transformar os círculos de coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Em seguida, iremos esboçar o gráfico. E fim de papo.

Simbora?

Passo 2

Vamos começar desenvolvendo o produto notável da nossa equação cartesiana:

x 2 + y 2 + 1 4 y + 49 = 49

x 2 + y 2 + 14 y = 0

x 2 + y 2 = - 1 4 y

Usando as relações dadas no passo 1, obtemos:

r 2 = - 1 4 r sen ⁡ θ

Dividindo ambos os lados por r, conseguimos nossa equação polar da circunferência:

r = - 14 s en ⁡ θ

Passo 3

Pela equação inicial e sabendo a equação geral de uma circunferência é dada por:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

Temos que seu raio é r = 7 e o centro tem coordenadas ( 0 , - 7 ) .

E o seu gráfico terá o seguinte formato:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

r = - 14 sen ⁡ θ .

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Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação. r ² = 4s e n
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25. Ache a área da região varrida pelo raio vetor da espiral r = a θ durante sua terceira revolução, que não foi varrida durante sua segunda revolução.