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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 21

Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

r = a ( 1 + cos ⁡ θ ) r = 2 a cos ⁡ θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ = 2 . 1 2 . ∫ 0 π a 1 + c o s θ 2 - 2 a c o s θ 2 d θ =

= ∫ 0 π a 1 + c o s θ 2 - 2 a c o s θ 2 d θ ∫ 0 π ( a 2 1 + c o s θ 2 - 4 a 2 cos 2 ⁡ θ ) d θ

= ∫ 0 π ( a 2 ( 1 + 2 c o s θ + cos 2 ⁡ θ ) - 4 a 2 cos 2 ⁡ θ ) d θ = ∫ 0 π ( a 2 + 2 a 2 c o s θ - 3 a 2 cos 2 ⁡ θ ) d θ =

∫ 0 π a 2 + 2 a 2 c o s θ - 3 a 2 1 2 1 + c o s 2 θ d θ = a 2 θ + 2 a 2 s e n θ - 3 a 2 2 θ + 1 2 s e n 2 θ 0 π

= a 2 π + 0 - 3 a 2 2 π + 0 - 0 = π a 2 2

Resposta

A = π a 2 2

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Ache a área de uma folha da rosácea r = 2s e n 3 θ .
Ache todos os pontos de intercecção dos gráficos das duas curvas dadas. r cos ⁡ θ = 1 r = 1 + 2 c o s θ
Ache a equação polar da circunferência com centro em ( r 0 ,θ 0 ) e raio a unidades.
Ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações r = a c o s θ e r = a ( 1 - c o s θ ) , a0.
Ache a área limitada por (a) o laço da limaçon r = 4 ( 1 + 2 c o s θ ) e (b) a parte externa da limaçon.