Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 18

Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Podemos perceber, que a primeira curva é simétrica com relação a origem e a região em questão pode ser divida em 4 regioes iguais para facilitar os calcuclos. Sendo assim, tomamos os limites de de até , o que determina a área da primeira das 4 regioes iguais. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 4.