Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 43
43. Ache uma equação das retas normais à curva que sejam paralelas à reta
Passo 1
A questão disse que a reta normal é paralela a reta , mas para que duas retas sejam paralelas é preciso que ambas tenham a mesma inclinação, olha só a ilustração disso:
Figura SEQ Figura \* ARABIC 1: duas retas paralelas tem a mesma inclinação
Então vamos isolar o y da reta dada para descobrirmos sua inclinação, o m:
Só lembrando, uma equação da reta pode ser escrita como:
E o m é o valor que está colado ao x, então, no nosso é .
Passo 2
iremos encontrar as coordenadas do ponto através da derivada que é igual a inclinação da reta tangente(.
Mas sabemos que
Substituindo o que acabamos de calcular e o do passo anterior:
Isolando o x :
A questão só pede uma equação da reta, então, só precisamos de um valor de x.
Vamos pegar o .
Falta só a coordenada y do ponto.
Então, substituindo o valor de x que encontramos na equação da curva:
Portanto, nosso ponto tem coordenaas e .
Passo 3
Equação da reta normal:
Substituindo o que já encontramos: