Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 68
A equação é chamada equação diferencial, pois envolve uma função desconhecida e suas derivadas e . Encontre as constantes , e tais que a função satisfaça essa equação. (As equações diferenciais serão estudadas no capítulo , no volume ).
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar as constantes , e que definem a solução , da equação diferencial .
Pra isso, vamos precisar derivar essa solução genérica, para obter , e derivar mais uma vez, para obter . A partir daí, vamos substituir os resultados dessas derivadas na equação diferencial e comparar os coeficientes de ambos os lados da equação.
Isso vai nos dar um sistema de equações, que resolvido nos fornece os valores de , e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada :
Derivando mais uma vez, temos a segunda derivada:
Agora substituindo e em , temos:
Agora vamos agrupar os termos de acordo com a potência de . Assim:
Dessa forma, conseguimos comparar o polinômio do lado esquerdo da igualdade com o polinômio do lado direito da igualdade.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Comparando os coeficientes dos termos com , temos:
Isolando :
Da mesma forma, vamos comparar os coeficientes dos termos com . No lado esquerdo, temos , mas no lado direito não temos nada multiplicando . Então, teremos apenas:
E como , temos:
O mesmo acontece com o termo do lado esquerdo, então comparamos ele com zero:
E substituindo os valores de e , encontramos :
Portanto, temos , e . E nossa solução é dada por:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
