Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 20

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ x 2   d x x - 1 ⋅ ( x 2 + 2 x + 1 )

Passo 1

Como o problema nos pede para resolver a integral expressando o integrando como soma de frações parciais vamos tentar fatorar o denominador para, então, expandirmos em frações parciais. Observamos, primeiramente, o seguinte

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Dessa forma, podemos reescrever o denominador como sendo

x - 1 ⋅ x + 1 2

Feito isso, agora podemos escrever as nossas frações parciais da seguinte forma

x 2   d x x - 1 ⋅ x + 1 2 = A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2

x 2   d x x - 1 ⋅ x + 1 2 = A ⋅ x + 1 2 x - 1 x + 1 2 + B ⋅ x - 1 ⋅ x + 1 x - 1 ⋅ x + 1 2     + C ⋅ x - 1 x - 1 ⋅ x + 1 2

x 2   d x x - 1 ⋅ x + 1 2 = x 2 ⋅ A + B + x ⋅ 2 A + C + ( A - B - C ) x - 1 x + 1 2

Essa igualdade só é satisfeita se

A + B = 1

2 A + C = 0

A - B - C = 0

Dessa forma, teremos

A = 1 4 ,   B = 3 4   e   C = - 1 2

Agora, é possível reescrever nossa integral sob a forma de frações parciais da seguinte forma

∫ 1 / 4 x - 1 d x + ∫ 3 / 4 x + 1 d x + ∫ - 1 / 2 x + 1 2 d x

Passo 2

Tendo feito a separação em frações parciais podemos resolver cada integral separadamente e usando uma constante de integração apenas (sendo a soma de cada uma das integrais) podemos juntar todos os resultados ao final

i : ∫ 1 / 4 x - 1 d x = 1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + C 1 i i : ∫ 3 / 4 x + 1 d x = 3 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 + C 2  

i i i : ∫ - 1 / 2 x + 1 2 d x =  

Fazendo uma substituição simples fica fácil resolver essa integral, assim, tomemos

x + 1 = u → d u = d x  

- 1 2 ⋅ ∫ 1 u 2 d u = 1 2 u + C 3

Retornando para a variável x teremos

1 2 ⋅ ( x + 1 ) + C 3

Juntando todos os resultados em um único vamos ter

1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 3 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ x + 1 + K

Resposta

1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 3 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ x + 1 + K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral abaixo:42 –int (s e n theta)/(cos^2 theta + cos theta - 2) d theta
No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.38 – ∫ 2 y 4 y 3 - y 2 + y - 1 d x
Calcule a integral abaixo:40 –int (e^(4 t) + 2 e^(2 t) - e^t)/(e^(2 t) + 1) d t
No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.37 – ∫ y 4 + y 2 - 1 y 3 + y d x
Calcule a integral abaixo:45 –int (d x)/(x^((3)/(2)) - sqrt(x))