42. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 4 - 6 x   que seja perpendicular à reta x - 2 y + 6 = 0 .

Passo 1

Foi nos dado a curva y = x 4 - 6 x       e foi dito que a reta tangente é perpendicular a reta x - 2 y + 6 = 0 .

Então, na verdade, a reta que nos foi dada é a normal, pois a reta normal é perpendicular a reta tangente.

Sendo assim, é fácil saber o m n   , basta isolar o y da reta:

x - 2 y + 6 = 0

- 2 y = - x - 6

y = - x + 6 - 2

y = 1 2 x + 3  

Só lembrando, uma equação da reta pode ser escrita como:

y = m x + b

E o m é o valor que está colado ao x, então o nosso m n é 1 2 .

Passo 2

Tendo o m n podemos descobrir o m t por esta fórmula:

m t = - 1 m n

Substituindo o m n     que encontramos:

m t = - 1 1 2

Então,

m t = - 2  

Passo 3

Já temos m t , mas ainda não temos o ponto ( x 0 , y 0 ) para montarmos a equação da reta tangente.

Mas calma, jovem, iremos encontrar esse ponto através da derivada, veja só mágica acontecer.

y = x 4 - 6 x

y ' = 4 x 3 - 6

Mas a derivada( y ' ) é iqual a inclinação da reta tangente( m t ) .

y ' = m t

4 x 3 - 6 = - 2

4 x 3 = 4

x 3 = 1

x = 1 3 = 1

Essa é a coordenada x do nosso ponto e a coordenada y descobriremos usando a equação da curva:

y = ( 1 ) 4 - 6 ( 1 )

y = - 5  

Portanto, o nosso ponto tem as coordenadas x=1 e y=-5.

Passo 4

E finalmente, a equação da reta tangente é

y - y 0 = m t ( x - x 0 )

Substituindo o que já encontramos:

y - - 5 = - 2 ( x - 1 )

y = - 2 x + 2 - 5

y = - 2 x - 3

Resposta

y = - 2 x - 3

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