Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 12
12.
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.
Passo 1
Tudo bem, pessoal?
Essa questão nos dá a equação de uma cônica e nos pede alguns parâmetros que a caracterizam. Para responder as perguntas, vamos usar a equação geral das cônicas e fazer comparações.
A equação geral de uma cônica é:
Onde é a excentricidade e é a sua diretriz.
Agora vamos usar essa equação para responder as perguntas.
Passo 2
(a) Podemos ver que a equação geral dessa cônica é do tipo:
Mas temos um problema, para encontrarmos a excentricidade, precisamos deixar o denominador da equação dada com a mesma cara do denominador da equação acima, ou seja, é necessário que haja aquele 1, para isso, precisamos tirar fator comum da equação do enunciado:
E então colocamos o 2 para cima:
Pronto, agora comparamos os termos que estão multiplicando o cosseno na equação acima e na equação geral, podemos ver que a excentricidade será:
Passo 3
(b) Pela excentricidade podemos determinar o tipo de cônica, como , a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
(c) Para encontrarmos e a equação da diretriz, vamos comparar o numerador da equação dada com a equação geral, percebemos que:
Mas a gente sabe o valor da excentricidade, então:
Como a equação da hipérbole possui o termo no denominador, sabemos que a diretriz é uma reta vertical e estará à esquerda do foco, portanto, será constante em x, e a equação será:
Colocamos o sinal negativo pois o foco está na origem.
Passo 5
(d) Agora que sabemos a equação da diretriz, estamos quase prontos a fazer o gráfico dessa hipérbole.
Para finalizar, vamos precisar dos pontos onde ela intercepta o eixo . Para isso, calcularemos para e .
Ou seja, os vértices ocorrem em e .
O gráfico da cônica é:
