Enunciado

No exercício 14.1.39 e no exemplo 14.3.3, o índice de massa corporal de uma pessoa foi definido como B m ,   h = m h 2 , onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros.

a) Qual é a aproximação linear de B ( m ,   h ) para uma criança com massa 23   k g e altura 1,10   m ?

b) Se a massa da criança aumentar em 1   k g e a altura em 3   c m , use a aproximação linear para estimar o novo IMC. Compare com o novo IMC atual.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá um contexto bonitinho para a função B m ,   h e pede primeiramente a aproximação linear no ponto ( 23 ,   1,1 ) .

Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores próximos de um ponto a , b !

E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Ou para o nosso caso

L m ,   h = B a ,   b + B m a ,   b m - a + B h a ,   b h - b

Onde para pontos próximos de a ,   b podemos considerar

L ( m , h ) ≈ B m , h

Resumo da ópera: Vamos encontrar L ( m ,   h ) para a função B no ponto ( 23 ,   1,1 ) ! E para isso precisamos começar encontrando as derivadas parciais B m e B h !

Passo 2

Para encontrar B m nós derivamos a função B em m enquanto tornamos h constante, de forma que:

B m = m h 2

∂ B ∂ m = 1 h 2 ⋅ d m d m

B m = 1 h 2

Substituindo o ponto

B m 23 ,   1,1 = 0,826

Da mesma forma, para encontrar B h nós derivamos a função B em h enquanto tornamos m constante, de forma que:

B h = m h 2

∂ B ∂ h = m ⋅ d h - 2 d m

B h = - 2 m h 3

Substituindo o ponto

B h 23 ,   1,1 = - 2.23 1,1 3 = - 34,56

Passo 3

O último dado que precisamos para monstar a equação da aproximação linear é B a ,   b , de forma que

B 23 ,   1,1 = 19,008

Jogando tudo em L m ,   h nós ficamos com

L m ,   h = 19,008 + 0,826 ⋅ m - 23 - 34,560 ⋅ ( h - 1,10 )

L m ,   h = 38,026 + 0,826 m - 34,560 h

E portanto essa é a aproximação linear que buscávamos!

Passo 4

Depois disso a questão nos pede para encontrar B quando ∆ m = 1 e ∆ h = 0,03 usando L m ,   h que acabamos de encontrar. Com essas variações, nosso novo ponto é:

24 ,   1,13

Jogando esses valores em L m ,   h temos:

L 24 ,   1,13 = 38,026 + 0,826.24 - 34,560.1,13

L 24 ,   1,13 = 18,7972

Agora utilizando a expressão real para o cálculo de IMC que é:

B m ,   h = m h 2

B 24 ,   1,13 = 24 1,13 2 ≈ 18,7955

Podemos notar que são dois resultados extremamente aceitáveis. O erro nos cálculos é absolutamente baixo, então isso não influencia no cálculo do IMC que fizemos pela aproximação linear.

Resposta

a) L m ,   h = 38,026 + 0,826 m - 34,560 h

b )   L 24 ,   1,13 ≈ 18,7972

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