Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 41
No exercício 14.1.39 e no exemplo 14.3.3, o índice de massa corporal de uma pessoa foi definido como , onde é a massa em quilogramas e é a altura em metros.
a) Qual é a aproximação linear de para uma criança com massa e altura ?
b) Se a massa da criança aumentar em e a altura em , use a aproximação linear para estimar o novo IMC. Compare com o novo IMC atual.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!
A questão nos dá um contexto bonitinho para a função e pede primeiramente a aproximação linear no ponto .
Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores próximos de um ponto !
E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!
Ou para o nosso caso
Onde para pontos próximos de podemos considerar
Resumo da ópera: Vamos encontrar para a função no ponto ! E para isso precisamos começar encontrando as derivadas parciais e !
Passo 2
Para encontrar nós derivamos a função em enquanto tornamos constante, de forma que:
Substituindo o ponto
Da mesma forma, para encontrar nós derivamos a função em enquanto tornamos constante, de forma que:
Substituindo o ponto
Passo 3
O último dado que precisamos para monstar a equação da aproximação linear é , de forma que
Jogando tudo em nós ficamos com
E portanto essa é a aproximação linear que buscávamos!
Passo 4
Depois disso a questão nos pede para encontrar quando e usando que acabamos de encontrar. Com essas variações, nosso novo ponto é:
Jogando esses valores em temos:
Agora utilizando a expressão real para o cálculo de IMC que é:
Podemos notar que são dois resultados extremamente aceitáveis. O erro nos cálculos é absolutamente baixo, então isso não influencia no cálculo do IMC que fizemos pela aproximação linear.
Resposta
a)