Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 15
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.
15.
Passo 1
Eaiii turma, tudo bem com vocês? Bora lá!?
A primeira coisa a ser feita, é entender o enunciado e o que a questão está nos solicitando. Então, repare que a questão pede que a partir da equação polar:
Apresentemos:
(a) qual o valor da excentricidade .
(b) identificar qual a cônica (se é elipse, parábola ou hipérbole).
(c) qual a equação da diretriz (se é uma reta horizontal ou vertical).
(d) realizar um esboço da cônica identificada no item (b).
Com isso, bora começar? 😉
Vamos traçar um plano para resolver isso? Observe comigo! O problema forneceu uma equação em coordenadas polares. Primeiramente, precisamos lembrar da equação geral de uma cônica. A partir disso, vamos comparar os termos e encontrar seus valores.
Vamos lembrar dos conceitos e definições de seções cônicas em coordenadas polares. A partir da imagem a seguir (um caso especifico para entender as variáveis na equação polar )
Na imagem, temos uma curva da qual queremos encontrar uma equação em coordenadas polares, e para isso se utiliza de uma reta diretriz que é paralela ao eixo e está a uma distância .
A partir dessas variáveis e as observadas na imagem, foi possível chegar na seguinte expressão geral:
Onde: é a excentricidade, também representado pela razão entre os módulos das distâncias por , ; é a distancia entre o eixo e a reta diretriz.
A partir dessa definição, foi observado outras quatros configurações possíveis, conforme pode ser visto na imagem abaixo
Observe que conforme a posição da curva, ou seja, para onde está voltada a sua concavidade, isso altera a posição da reta diretriz e , e tem como resultado uma equação diferente.
Passo 2
(a). Como podemos encontrar a excentricidade na equação fornecida?
Sabendo dessas informações, vamos analisar e comparar a equação fornecida com a geral
Equação fornecida:
Equação geral:
Repare, que as duas equações não estão exatamente parecidas, precisamos organizar para que apareça o termo no denominador da equação fornecida. Como podemos fazer isso? Vamos tirar o fator , comum no denominador, e colocar para cima:
Agora sim podemos comparar, e repare que a excentricidade é o valor que multiplica o , logo será:
Passo 3
(b). Para identificarmos a cônica, como fazemos?
Bom, para isso partimos da análise das seguintes definições para excentricidade
- elipse
- parábola
- hipérbole
Vamos olhar para a excentricidade encontrada anteriormente,
como , a cônica será uma hipérbole.
Passo 4
(c). Qual a equação da diretriz (é uma reta horizontal ou vertical)?
Agora que encontramos a excentricidade, podemos comparar os numeradores da equação geral com a equação fornecida:
Equação geral:
Equação fornecida:
Repare que , e o valor de conforme encontramos no Passo 3
Logo, será:
Com ele, podemos encontrar a equação da reta diretriz. Precisamos antes determinar onde ela se encontra em relação à hipérbole, já que a equação da hipérbole fornecida possui um termo no denominador, assim avaliando com a imagem a seguir a reta será vertical e estará à esquerda da origem (do foco)
Então será negativo, usando a equação da diretriz será:
Passo 5
(d). Como fazer um esboço da cônica?
Bom, dos passos anteriores, já sabemos a equação polar e a diretriz
E também sabemos que o gráfico é uma parábola com concavidade para o lado positivo do eixo , conforme a imagem a seguir
Agora, conseguimos plotar o gráfico manualmente se a gente calcular o valor de quando vale , e , pois vamos ter os valores dos raios (distância até a origem).
Os valores de para vão ser os pontos onde a parábola corta o eixo (ponto positivo para e negativo para ):
Já o valor de para é o ponto onde a parábola corta o eixo (ponto negativo)
Logo, o gráfico fica:
Resposta
(d)
