Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 35
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
35.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência
E devemos decidir se ela converge ou diverge. Mas como fazer isso? Note que ela tem um termo do tipo
Esse termo faz com que o sinal dos termos seja alternado! E isso é ótimo, porque temos um teste que ajuda a gente! O do limite! Ele nos diz que o limite do módulo do termo geral indo para um número finito, então a sequência é convergente.
No caso de sequências alternadas, a parte do termo geral é sem esse termo alternador! Assim o limite
A ideia é aplicar esse limite para a sequência dada! Bora fazer junto?
Passo 2
Vamos lembrar que o limite do módulo de uma sequência é convergente, a própria sequência é:
Então a gente aplica o módulo e faz o limite na sequência dada:
Se for um número, significa que a sequência converge para esse número.
Quando aplicamos o módulo, a sequência passa a ser:
Pois todos os valores negativos, de 1 passam a ser positivos.
E se aplicarmos o limite acima, podemos perceber que a sequência tende a zero:
Assim, a sequência é convergente.
Resposta
convergente