Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

35. a_n = (-1)^n / (2 * raiz(n))

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência

a n = - 1 n 2 n

E devemos decidir se ela converge ou diverge. Mas como fazer isso? Note que ela tem um termo do tipo

- 1 n

Esse termo faz com que o sinal dos termos seja alternado! E isso é ótimo, porque temos um teste que ajuda a gente! O do limite! Ele nos diz que o limite do módulo do termo geral indo para um número finito, então a sequência é convergente.

No caso de sequências alternadas, a parte do termo geral é sem esse termo alternador! Assim o limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n = L

A ideia é aplicar esse limite para a sequência dada! Bora fazer junto?

Passo 2

Vamos lembrar que o limite do módulo de uma sequência é convergente, a própria sequência é:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n = L

Então a gente aplica o módulo e faz o limite na sequência dada:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 n

Se L for um número, significa que a sequência converge para esse número.

Quando aplicamos o módulo, a sequência passa a ser:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n

Pois todos os valores negativos, de 1 passam a ser positivos.

E se aplicarmos o limite acima, podemos perceber que a sequência tende a zero:

L = 0

Assim, a sequência é convergente.

Resposta

convergente

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