Encontre a fórmula para f^n(x) .

35. f(x) = e^(2x)

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função

f x = e 2 x

E nosso objetivo é descobrir uma fórmula para qualquer derivada de ordem n de f .

Parece complicado?

Olhando para a função vemos que se trata de uma função composta pois temos a função e e no seu expoente temos outra função 2 x e assim, para calcular sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia.

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Com isso, vamos aplicar a derivada de f repetidamente até encontrar uma relação de recorrência para f n

Veja só!

Passo 2

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (temos que usar a regra da cadeia):

f ' x = d 2 x d x · d e 2 x d 2 x = 2 ⋅ e 2 x

Se a gente derivar mais uma vez:

f ' ' x = 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 x = 2 2 · e 2 x

E denovo:

f ' ' ' x = 2 2 · 2 · e 2 x = 2 3 ⋅ x 2 x

Esse já deu pra perceber né? Cada vez que deriva, um 2 é multiplicado na expressão, então a derivada n-ésima é igual a:

f n x = 2 n ⋅ e 2 x

Legal, né? O que achou? Responde Aí!

Resposta

f n x = 2 n ⋅ e 2 x

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