Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 35
Encontre a fórmula para .
35.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é descobrir uma fórmula para qualquer derivada de ordem de .
Parece complicado?
Olhando para a função vemos que se trata de uma função composta pois temos a função e no seu expoente temos outra função e assim, para calcular sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia.
Com isso, vamos aplicar a derivada de repetidamente até encontrar uma relação de recorrência para
Veja só!
Passo 2
Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (temos que usar a regra da cadeia):
Se a gente derivar mais uma vez:
E denovo:
Esse já deu pra perceber né? Cada vez que deriva, um é multiplicado na expressão, então a derivada n-ésima é igual a:
Legal, né? O que achou? Responde Aí!