23-24 Encontre y’’’.

23. y = raiz(2x + 3)

Passo 1

Para encontrarmos a função y ' ' ' precisamos derivar três vezes a função y .

Para derivarmos 2 x + 3 precisamos utilizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é 2 x + 3 , então podemos escrever a equação como sendo:

y ' = 1 2 2 x + 3 ⋅ d d x 2 x + 3

y ' = 1 2 2 x + 3 ⋅ 2

y ' = 1 2 x + 3

Passo 2

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

y ' ' = d d x 1 2 x + 3

Podemos reescrever a função pra ficar mais fácil de derivar:

y ' ' = d d x 2 x + 3 - 1 / 2

E da mesma forma que no passo 1, vamos usar a regra da cadeia:

y ' ' = - 1 2 2 x + 3 - 3 / 2 ⋅ d d x 2 x + 3

y ' ' = - 1 2 2 x + 3 - 3 / 2 ⋅ 2

y ' ' = - 2 x + 3 - 3 / 2

Passo 3

E derivando pela ultima vez:

y ' ' ' = d d x - 2 x + 3 - 3 / 2

Novamente, a regra da cadeia é necessária:

y ' ' ' = - - 3 2 2 x + 3 - 5 / 2 ⋅ d d x 2 x + 3

Menos com menos, da mais:

y ' ' ' = 3 2 2 x + 3 - 5 / 2 ⋅ 2

y ' ' ' = 3 2 x + 3 - 5 / 2

Resposta

y ' ' ' = 3 2 x + 3 - 5 / 2

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