Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 34
Encontre a fórmula para .
34.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é determinar uma fórmula para derivadas de .
Parece complicado?
Olhando para a função podemos perceber que se trata de uma fração entre funções, então para calcular sua derivada vamos aplicar a regra do quociente.
E vamos derivando a função até encontrar uma relação de recorrência e determinar uma formula para derivadas...
Já adianto tambem que vamos precisar aplicar a regra da cadeia pois em alguns momentos vamos ter que calcular a derivada de uma função composta.
Veja só!
Passo 2
Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (aqui a gente usa a regra da divisão):
Se a gente derivar mais uma vez:
A primeira derivada ali é zero e a segunda a gente tem que usar a regra da cadeia:
E de novo:
A primeira derivada vai ser denovo 0 e a segunda vai precisar da regra da cadeia:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos derivar mais uma vez, para a gente conseguir enxergra bem o que acontece:
Agora podemos fazer algumas observações:
Cada vez que a gente deriva o sinal muda então no termo geral da derivada vai ter que ter um termo assim:
Se o n é impar, fica negativo, se for par, fica positivo.
Cada vez que deriva multiplica um 5 no numerador, então no numerador tem que aparecer esse termo:
Além disso um numero maior sempre aparece multiplicando no numerador, percebe que na quarta derivada já temos: , que é equivalente a escrever:
E por último, a potência do numerador é sempre um numero maior que a derivada, dessa forma nossa expressão geral fica:
Conseguiu ver isso?
O que achou? Responde Aí!