Encontre a fórmula para f^n(x) .

34. f(x) = 1 / (5x - 1)

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = 1 5 x - 1

E nosso objetivo é determinar uma fórmula para n derivadas de f .

Parece complicado?

Olhando para a função podemos perceber que se trata de uma fração entre funções, então para calcular sua derivada vamos aplicar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

E vamos derivando a função até encontrar uma relação de recorrência e determinar uma formula para n derivadas...

Já adianto tambem que vamos precisar aplicar a regra da cadeia pois em alguns momentos vamos ter que calcular a derivada de uma função composta.

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Veja só!

Passo 2

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (aqui a gente usa a regra da divisão):

f ' x = d d x 1 ⋅ 5 x - 1 - d d x 5 x - 1 ⋅ 1 5 x - 1 2

f ' x = - 5 5 x - 1 2

Se a gente derivar mais uma vez:

f ' ' x = d d x - 5 ⋅ 5 x - 1 2 - d d x 5 x - 1 2 ⋅ - 5 5 x - 1 2

A primeira derivada ali é zero e a segunda a gente tem que usar a regra da cadeia:

f ' ' x = - 2 5 x - 1 5 ⋅ - 5 5 x - 1 4

f ' ' x = 2 5 2 5 x - 1 3

E de novo:

f ' ' ' x = d d x 2 5 2 ⋅ 5 x - 1 3 - d d x 5 x - 1 3 ⋅ 2 5 2 5 x - 1 6

A primeira derivada vai ser denovo 0 e a segunda vai precisar da regra da cadeia:

f ' ' ' x = - 3 5 x - 1 2 5 ⋅ 2 5 2 5 x - 1 6

f ' ' ' x = - 3 ⋅ 2 5 3 5 x - 1 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos derivar mais uma vez, para a gente conseguir enxergra bem o que acontece:

f 4 x = d d x - 3 ⋅ 2 5 3 ⋅ 5 x - 1 4 - d d x 5 x - 1 4 ⋅ - 3 ⋅ 2 5 3 5 x - 1 8

f 4 x = - 4 5 x - 1 3 5 ⋅ - 3 ⋅ 2 5 3 5 x - 1 8

f 4 x = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 4 5 x - 1 5

Agora podemos fazer algumas observações:

Cada vez que a gente deriva o sinal muda então no termo geral da derivada vai ter que ter um termo assim:

- 1 n

Se o n é impar, fica negativo, se for par, fica positivo.

Cada vez que deriva multiplica um 5 no numerador, então no numerador tem que aparecer esse termo:

5 n

Além disso um numero maior sempre aparece multiplicando no numerador, percebe que na quarta derivada já temos: 4 3 2 1 , que é equivalente a escrever:

n !

E por último, a potência do numerador é sempre um numero maior que a derivada, dessa forma nossa expressão geral fica:

f n x = n ! 5 n 5 x - 1 n + 1

Conseguiu ver isso?

O que achou? Responde Aí!

Resposta

f n x = n ! 5 n 5 x - 1 n + 1

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