Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 17
Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é calcular sua derivada de primeira e de segunda ordem.
Parece complicado?
Para resolver esse problema temos que perceber que a função dada no problema é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro de outra função...
No caso dentro da função . Então para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia.
Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...
Bora começar!
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia em , temos
Perceba que na derivada de fora, derivamos em função da função de dentro, ou seja, podemos considerar como uma constante , por exemplo, e derivar esse termo em função de .
Pela regra da potencia, temos
Pelo teorema fundamental do calculo, temos
Substituindo em , chegamos em
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora com a primeira derivada em mãos, derivamos o resultado para obter a segunda derivada.
Novamente caímos em uma derivada de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia novamente.
Vamos continuar chamando de e portanto, temos
Perceba que agora apareceu outra função composta, pois temos a função elevada ao quadrado. Então vamos aplicar a regra da cadeia para esse termo tambem e chamar a função de dentro como ...
Pela regra da potencia, temos
Pelo teorema fundamental do calculo, chegamos em
Substituindo em
Voltando para ...
E voltando para ...
E fim! O que achou? Responde Aí!