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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 1.6 - Ex. 26

Encontre uma fórmula para a função inversa.

y = (e^x)/(1 + 2 e^x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a função inversa da função f (x) = (e^x)/(1 + 2 e^x) .

Pra isso, vamos seguir o passo a passo para encontrar a inversa de uma função:

Então, basicamente vamos isolar x e escrever a expressão em função de y , beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhadinha na nossa função:

f (x) = (e^x)/(1 + 2 e^x)

Escrevendo y = f ( x ) :

y = (e^x)/(1 + 2 e^x)

Agora vamos tentar isolar x , então vamos retirar ele do expoente. Mas como? Vamos ter que mexer um pouquinho nessa equação. Invertendo a fração dos dois lados, temos:

(1)/(y) = (1 + 2 e^x)/(e^x)

Sendo assim, simplificando, vamos ter:

(1)/(y) = (1)/(e^x) + 2

Colocando os termos que tem x de um lado da equação:

(1)/(e^x) = (1)/(y) - 2

(1)/(e^x) = (1 - 2 y)/(y)

Agora vamos inverter isso para facilitar:

e^x = (y)/(1 - 2 y)

E aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

ln e^x = ln ((y)/(1 - 2 y))

Como o logaritmo é a função inversa da exponencial, elas se cancelam e temos:

x = ln ((y)/(1 - 2 y))

Agora vamos chamar x de f^(- 1) ( x ) e y de x :

f^(- 1) (x) = ln ((y)/(1 - 2 y))

E encontramos nossa função inversa.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^(- 1) ( x ) = ln ((y)/(1 - 2 y))

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