1. Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln(sex) , 0 > x < pi com o ponto inicial ( π / 2 , 0 ) .
  2. Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.

Passo 1

A nossa função é a y = f x = l n ⁡ ( s e n x ) . O primeiro passo para escrevermos nossa função de comprimento de arco é encontrar a primeira derivada da função. Assim,

y ' = 1 s e n x c o s x = c o t g x

O segundo passo é escrevermos 1 + y ' 2 . Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + c o t g 2 x

Note que temos aqui uma identidade trigonométrica! Sabemos que 1 + c o t g 2 x = c o s s e c 2 x . Assim,

1 + y ' 2 = c o s s e c 2 x = c o s s e c x

Passo 2

Por fim, vamos escrever a nossa função de comprimento de arco!

s x = ∫ π 2 x 1 + f ' t 2 d t = ∫ π 2 x c o s s e c t   d t

s x = ln ⁡ c o s s e c t - c o t g t π 2 x = ln ⁡ c o s s e c x - c o t g t - ln ⁡ 1 - 0

s x = l n ⁡ | c o s s e c x - c o t g x |

Passo 3

Vamos agora plotar aqui a função f e a função do comprimento de arco s no mesmo gráfico. Aqui, vemos que s cresce no intervalo ( 0 , π ) e que x = 0 e x = π . Assim,

Resposta

  1. s x = l n ⁡ | c o s s e c x - c o t g x |   ;
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Desenhe a curva dada (coordenadas polares).ρ = tg(θ), - π/2θπ/2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).ρ = 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).ρ = cos(3θ)
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).ρ = 2 - cos(θ)
Ache o comprimento do arco da curva 6 * y^2 = x * (x - 2)^2 no primeiro quadrante, do ponto (2,0) ao ponto (8,4 * raiz(3))