Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 60

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o :

Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo ou , não é o nosso caso. Mas a gente ainda pode tentar manipular a função pra chegar lá!

Repara que aqui temos uma função do tipo:

E quando algo assim ocorre, as vezes funciona a gente elevar pela exponencial e aplicar o logaritmo.

Se liga só:

Passo 2

Temos uma função do tipo:

Então pode ser legal fazer . Assim:

Aqui, vamos usar aquela regra do logaritmo, de que a gente pode colocar o expoente na frente multiplicando:

Agora com relação ao limite, como é uma constante, podemos também fazer:

Ou seja, eu coloquei o limite ali no expoente.

Assim, o que devemos realmente calular é:

Note que isto é uma indeterminação do tipo , de modo que não podemos usar a regra ainda.

Passo 3

Mas a gente não desiste! Vamos fazer outra mudança de variável. Vamos analisar a nossa expressão:

Vamos transformar essa expressão em uma fração, para isso, vou colocar o no denominador, mas para que a expressão se mantenha a mesma ele vai para o denominador como , assim: