(a) Encontre a função de comprimento de arco para a curva medida a partir do ponto P na direção de aumento de t, em seguida reparametrize a curva em realação ao comprimento de arco para o ponto P, e (b) encontre o ponto 4 unidades ao longo da curva (na direção de aumento de t) para P.

a) Como é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

Derivando cada componente:

Calculando com e relação que a gente aprendeu:

Podemos utilizar o ponto P para encontrar onde começa o limite de integração para poder calcular .

Quando , temos exatamente o ponto P. Para verificar isso basta substiruir em :

E:

Qual o valor em de em nos gera esse ponto ?

Então a função de comprimento de arco, partindo do ponto e indo em direção ao crescimento de , é:

Então temos que nossa equação para o comprimento da curva parametrizada é dada por:

Desta forma agora iremos encontrar uma função para em função do comprimento da curva parametrizada, vamos isolar na equação acima e teremos então a função que queremos:

Reparametrizando a curva , que antes era em função de , substituindo o que encontramos no passo anterior:

Então o que a gente consegue agora é o valor do vetor em função ao comprimento da curva:

b) Quando temos que é: