Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 58
O plano retificante da curva e do ponto é o plano que contém os vetores e no ponto. Encontre o plano retificante da curva
E ao ponto
Passo 1
Olá. Fala ai!
Para encontrarmos o plano retificando da curva e do ponto dado, temos que calcular os vetores tangente e binormal da curva no ponto específico.
Vamos lá!
Passo 2
Como dito no enunciado, um plano retificante é aquele que contém o vetor tangente e o vetor binormal .
A equação geral de um plano pode ser escrita a partir de um vetor normal ao plano.
Mas basta analisarmos o que é um vetor binormal: . O produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos vetores no qual estamos calulando o seu produto. Logo temos que é perpendicular tanto a quanto a , mas para termos um plano retificante e precisam estar no mesmo plano, logo é perpendicular a este plano então é um vetor normal ao plano retificante.
Então para calcularmos o vetor normal usamos:
Onde o vetor tangente é:
Passo 3
Então para calcularmos o vetor tangente precisamos da derivada da curva em cada componente:
Então o vetor tangente é:
O vetor normal é:
Que já está normalizado.
Passo 4
O parâmetro associado ao ponto é
Então a equação do plano retificante é:
Resposta
O plano retificante é: