Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 35
Encontre a função comprimento de arco para a curva
com ponto inicial .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a função comprimento da curva , com ponto inicial .
Pra isso, precisamos lembrar da fórmula da função comprimento de arco:
Onde é a derivada da nossa função. Então, vamos derivar a nossa função, substituir tudo na fórmula e calcular a integral.
Vamos lá!
Passo 2
Como podemos ver na fórmula, precisamos conhecer a derivada de em relação a . Vamos encontrar?
Vamos derivar então um termo de cada vez:
Agora somando:
Substituindo na integral, temos então:
Passo 3
Antes de integrar, temos que definir o intervalo de integração.
Como o ponto inicial é no ponto , consideraremos apenas o intervalo
Então temos
Agora só falta integrar!
Passo 4
Pra matar a questão, precisamos resolver a integral. Vamos então organizar melhor a expressão dentro do parêntese.
Fazendo o MMC podemos juntar tudo:
Agora vamos tentar simplificar mais um pouco:
Agora melhorou, né?!
Passo 5
Pra finalizar, podemos resolver fazendo uma substituição simples.
Assim nossa integral fica:
Integrando em relação , temos:
E aplicando os intervalos de integração:
Portanto, a nossa função comprimento de arco é:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉