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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 11

Calcule a integral.

int sqrt(1 - 4 x^2) d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A primeira vista resolver essa integração parece impossível, mas devo lhe informar que não é.

Para integrais com essa configuração, temos uma substituição super adequada e que irei lhe mostrar aqui:

Chamamos de substituição trigonométrica, e nos ajuda BASTANTE.

Passo 2

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

A gente tem que 2 x = sen theta , e theta varia no intervalo - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2) . Assim, x = (1)/(2) sen theta , e se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = (1)/(2) cos theta d theta .

Agora, achando o valor do nosso cateto sqrt(1 - 4 x^2) por meio da substituição de x , temos:

sqrt(1 - 4 x^2) = sqrt(1 - ( 2 x ) ²) = cos theta

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = int cos theta ((1)/(2) cos theta) d theta

= (1)/(4) int ( 1 + cos 2 theta ) d theta

= (1)/(4) (theta + (1)/(2) sen 2 theta) + C

Agora voltando para a variável original:

= (1)/(4) [sen^(- 1) 2 x + 2 x sqrt(1 - 4 x^2)] + C

Resposta

(1)/(4) [sen^(- 1) 2 x + 2 x sqrt(1 - 4 x^2)] + C .

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