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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 90

Encontre uma função f e um número a tais que

2 + int_a^x f ( t ) d t = e^(3 x)

Passo 1

Precisamos achar a e f , com talento.

Para achar f , podemos pensar em derivar os dois lados da equação. Essa integral a gente deriva pela teorema fundamental do cálculo.

A equação fica:

f (x) = 3 e^(3 x)

Olha só, conseguimos!

Passo 2

Para achar a , podemos substituir nossa f na equação:

2 + int_a^x 3 e^(3 t) d t = e^(3 x)

Calculando a integral, usando uma substituição simples u = 3 t :

2 + e^(3 t) (​|_a^x = e^(3 x)

2 + e^(3 x) - e^(3 a) = e^(3 x)

2 = e^(3 a) :. ln 2 = 3 a :. a = (ln 2)/(3)

Resposta

f (x) = 3 e^(3 x)

a = (ln 2)/(3)

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