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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 18

Calcule à mao as integrais e verifique suas respostas com um CAS, se disponível.

∫ x   s e c 2 a x 2 d x

Passo 1

Tendo a nossa função a ser integrada:

∫ x   s e c 2 a x 2 d x

Resolveremos a integral função por meio de substituição do tipo u d u , vamos chamar de u a parte mais difícil da função:

u = a x 2

Derivando:

d u = 2 a x d x

Reorganizando:

d u 2 a = d x

Passo 2

Agora, podemos solucionar a integral substituindo os valores em termos de u :

∫ x   s e c 2 a x 2 d x = ∫ sec 2 ⁡ u . d u 2 a

Retirando a constante de dentro da integral, ficamos com:

∫ x   s e c 2 a x 2 d x = 1 2 a ∫ sec 2 ⁡ u d u

Quando aprendemos sobre derivada, vimos que d [ t g u ] d x = sec 2 ⁡ ( u ) , similarmente a integral é o passo inverso da derivada, dessa forma:

∫ x   s e c 2 a x 2 d x = 1 2 a . t g u + C

Substituindo em termos de u = a x 2   , temos:

∫ x   s e c 2 a x 2 d x = 1 2 a . t g a x 2 + C

Resposta

∫ x   s e c 2 a x 2 d x = 1 2 a . t g a x 2 + C

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Seja f x =x e F definida por F x = - 1 2 x 2s ex0 1 2 x 2s e0 ≤ x Mostre que F é uma antiderivada f em - ∞ , + ∞ . Explique.