Calcule os limites.

(b) underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(3 x))^x

Passo 1

Cara, isso parece bastante com um limite fundamental que a gente conhece. Ele diz que:

underset(x -> oo)(lim) (1 + (1)/(y))^y = e

Podemos fazer esse termo aparecer no nosso limite, usando a substituição:

y = 3 x :. x = (y)/(3)

x -> oo :. y -> oo

Nosso limite fica:

underset(y -> + oo)(lim) (1 + (1)/(y))^((y)/(3))

Passo 2

Agora a gente pode usar uma propriedade de potência:

underset(y -> + oo)(lim) (1 + (1)/(y))^((y)/(3)) = underset(y -> + oo)(lim) ((1 + (1)/(y))^y)^((1)/(3))

Olha só! Apareceu nosso limite conhecido. A gente pode usar uma propriedade de limites e substituir ele, desse jeitinho:

underset(y -> + oo)(lim) ((1 + (1)/(y))^y)^((1)/(3)) = [underset(y -> + oo)(lim) (1 + (1)/(y))^y]^((1)/(3)) = e^((1)/(3))

Conseguimos!

Resposta

e^((1)/(3))

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