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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 83

Encontre uma função f e um número a tais que

6 + ∫ a x f t t 2 d t = 2 x ,     ∀   x > 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a função f e a constante a para o qual seja possível a seguinte expressão:

6 + ∫ a x f t t 2 d t = 2 x ,     ∀   x > 0

Uma forma de resolvermos isso é utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Ficou curioso?? Então bora junto que eu te mostro!! 😉

Passo 2

Se derivarmos toda a expressão, ficamos com:

d d x 6 + ∫ a x f t t 2 d t = d d x 2 x

Se lembra do teorema fundamental do cálculo? Não?! Ele diz o seguinte:

Se

g x = ∫ a x f t d t

Então

g ' x = f x

Basicamente, ele diz que a derivada de uma integral é a própria função que seria integrada. Já que uma operação é o inverso da outra.

Daí, podemos derivar a expressão:

f x x 2 = 2 2 x

f x = x 2 x

f x = x 3 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a , para isso, vamos dizer o seguinte x = a , então:

6 + ∫ a a f t t 2 d t = 2 a

Como os limites de integração superior e inferior são iguais, temos que esta integral vale zero, daí:

6 = 2 a

a = 3

a = 9

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f x = x 3 2

a = 9

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