Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 53
51.
(a) Se o símbolo denota a função maior inteiro do Exemplo 10, calcule
(b) Se for um inteiro, calcule
(c) Para quais valores de o limite existe?
Passo 1
Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei lhe ajudando com esta atividade.
Ela nos pede para resolver o limite de uma função maior inteiro, onde essa função recebe um número e nos retorna o inteiro mais próximo.
A função "maior inteiro" em matemática refere-se à função que retorna o maior número inteiro menor ou igual a um dado número real. Essa função é comumente conhecida como a função "parte inteira" ou "parte inteira para baixo". A notação matemática para a parte inteira de um número é geralmente representada por .
A função maior inteiro arredonda um número real para o inteiro mais próximo que é menor ou igual a ele. Por exemplo:
- é 3, pois 3 é o maior número inteiro menor ou igual a 3.14.
- é -3, pois -3 é o maior número inteiro menor ou igual a -2.7.
- é 5, pois 5 é um número inteiro e permanece inalterado pela função.
Passo 2
Para o item (a), temos o seguinte:
é a função que retorna o maior inteiro menor que
Nesse caso, estamos nos aproximando de pela direita, isto é, valores como:
Sacou?! Logo, nossa função retornará , pois é maior inteiro menor que os números que foram mostrados no passo 2!
Para acharmos o limite, primeiro temos que ver se os limites laterais são iguais. Caso sejam, o limite existe e é esse valor. Caso contrário, não existe.
O caso já fizemos no item anterior!!
Para , estamos nos aproximando de valores como:
Sacou?! Logo, nossa função retornará , pois é maior inteiro menor que os números acima!
Como os limites laterais não são iguais, não existe!
é a função que retorna o maior inteiro menor que
Logo,
Portanto,
Passo 3
b)
Nesse caso, estamos nos aproximando de pela esquerda. Olha só:
Logo,
Então,
Esse é bem parecido, mas estamos nos aproximando de pela direita. Olha só:
Logo,
Então,
Passo 4
(c) Como vemos no item (b):
Então se for inteiro, os limites laterais são diferentes, portanto, não existe . No terceiro tópico do item (a), vimos que para o um número decimal nosso limite existe. Assim,
existe se não for inteiro.
Resposta
- não existe!
- existe se não for inteiro.