Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 37

Encontre as funções

(a) f ∘ g

(b) g ∘ f

(c) f ∘ f

(d) g ∘ g

e seus domínios.

f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente duas funções, sendo:

f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

E pede pra gente determinar

(a) f ∘ g

(b) g ∘ f

(c) f ∘ f

(d) g ∘ g

Mas, quem são essas coisas? Cara, essas aí são funções compostas. Elas são escritas da seguinte forma:

f ∘ g = f g x

E para encontra-las, basta substituir a função que está dentro dos parênteses, no lugar da variável da função que está fora dos parênteses.

Além de fazer isso, também teremos que dizer quais são os domínios delas. Ok?

Vem comigo que te ajudo em cada item.

Passo 2

a) f ∘ g

Vamos lembrar que a composição f ∘ g quer dizer f ( g x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

Sendo elas f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

Teremos:

f ∘ g = f g x = f x + 1 x + 2

= x + 1 x + 2 + 1 x + 1 x + 2

Que ajustando se torna:

= x + 1 x + 2 + x + 2 x + 1

Para melhorar um pouco a carinha dessa função, vamos tirar o mmc entre ( x + 2 ) e ( x + 1 ) e somar as frações, ficando com:

f ∘ g = x + 1 2 + x + 2 2 x + 1 x + 2

Resolvendo os termos ao quadrado:

x 2 + 2 x + 1 + ( x 2 + 4 x + 4 ) x + 1 x + 2

E reduzindo os termos semelhantes, teremos:

f ∘ g = 2 x 2 + 6 x + 5 x + 1 x + 2

Pronto, encontramos a carinha da nossa função composta.

Perceba que aqui não podemos ter x = - 1 e x = - 2 , pois teria denominador 0 e também x = - 2 não está no domínio de g . Sendo assim,

D o m f ∘ g = { x ∈ R | x ≠ - 2 ,   - 1 }

Passo 3

b) g ∘ f

de maneira análoga, vamos lembrar que a composição g ∘ f quer dizer g ( f x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

Sendo elas f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

g ∘ f = g x + 1 x

= x + 1 x + 1 x + 1 x + 2

Vamos fazer alguns ajustes aqui multiplicando tudo por x no numerador e no denominador, ficamos com:

= x 2 + 1 + x x 2 + 1 + 2 x

E colocando na ordem, teremos:

= x 2 + x + 1 x 2 + 2 x + 1

Repara que o denominador é um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito com:

g ∘ f = x 2 + x + 1 x + 1 2

Perceba que aqui não podemos ter x = - 1 , pois teria denominador 0 e também não podemos ter x = 0 , pois não está definido no domínio de f . Sendo assim,

D o m g ∘ f = { x ∈ R | x ≠ - 1 ,   0 }

Passo 4

c) f ∘ f

Vamos lembrar que a composição f ∘ f quer dizer f ( f x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

Sendo elas f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

Teremos:

f ∘ f = f x + 1 x

= x + 1 x + 1 x + 1 x

Vamos também ajustar as coisas por aqui, fazendo o mmc em cada parcela

f ∘ f = x 2 + 1 x + x x 2 + 1

E agora fazemos o mmc novamente e somamos as frações:

= x 2 + 1 2 + x 2 x x 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 + x 2 x ( x 2 + 1 )

E chegamos a

f ∘ f = x 4 + 3 x 2 + 1 x ( x 2 + 1 )

Perceba que aqui não podemos ter x = 0 , pois teria denominador 0 e também não podemos ter x = 0 , pois não está definido no domínio de f . Sendo assim,

D o m f ∘ f = { x ∈ R | x ≠ 0 }

Passo 5

d) g ∘ g

Vamos lembrar que a composição g ∘ g quer dizer g ( g x ) , ok? Agora basta substituir as funções dadas no enunciado.

Sendo elas f x = x + 1 x ,               g x = x + 1 x + 2

Teremos:

g ∘ g = g x + 1 x + 2

= x + 1 x + 2 + 1 x + 1 x + 2 + 2

Tirando o mmc no numerador e no denominador, teremos:

= x + 1 + 1 ( x + 2 ) x + 2 x + 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 = 2 x + 3 3 x + 5

Assim:

g ∘ g = 2 x + 3 3 x + 5

Perceba que aqui não podemos ter x = - 5 3 , pois teria denominador 0 e também não podemos ter x = - 2 , pois não está definido no domínio de g . Sendo assim,

D o m g ∘ g = x ∈ R x ≠ - 2 ,   - 5 3

Resposta

  1. f ∘ g = 2 x 2 + 6 x + 5 x + 1 x + 2             D o m f ∘ g = x ∈ R x ≠ - 2 ,   - 1
  2. g ∘ f = x 2 + x + 1 x + 1 2                     D o m f ∘ g = x ∈ R x ≠ - 1 ,   0
  3. f ∘ f = x 4 + 3 x 2 + 1 x x 2 + 1               D o m f ∘ f = { x ∈ R | x ≠ 0 }
  4. g ∘ g = 2 x + 3 3 x + 5                       D o m g ∘ g = x ∈ R x ≠ - 2 ,   - 5 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ g f x = x ; g x = x 2 + 1
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ g f x = 3 - 2 x ; g x = 6 - 3 x
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ f f x = 1 x ; g x = x
A função f está definida. Defina a seguinte função e determine o domínio da função resultante: f ∘ f x f x = 2 x - 3
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ g f x = x - 2 ; g x = x 2 - 2