Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide

Em termos de .

E mostre que se , então a trocoide não tem uma tangente vertical.

Vamo começar pela derivada de :

Agora a derivada de :

Substituindo na fórmula

E tá aí a inclinação da nossa reta tangente em termos do parâmetro .

Agora precisamos mostrar que se , ou seja, se nossa trocoide é interna, ela não tem uma reta tangente vertical.

A reta tangente é vertical quando

Assim, devemos provar que para , nunca será igual a zero. Sacou?

Sabemos que

Se

Temos a seguinte situação

E as coordenadas do nosso ponto são a parametrização da trocoide.

Relembrando rapidamente, temos

E, do triangulo :

Agora voltando a nossa questão, já que temos

Podemos dizer que

Então

Fazendo em todos os membros da inequação:

Isso quer dizer que

Ou seja, nunca valerá zero.

E isso significa que não há tangente vertical.