Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 28

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à astroide

    2. x = a cos 3 ⁡ θ

    y = a sen 3 ⁡ θ

    Em termos de θ .

  2. Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical?
  3. Em que pontos a tangente tem inclinação 1 ou - 1 ?

Passo 1

Fala ai, vamos de mais uma questão de inclinação da reta?

Preparados?

Vamos iniciar calculando as derivadas das equações paramétricas em relação θ , para obtermos a d x d θ e d y d θ , e substituímos na equação da inclinação da reta tangente e analisar os itens seguintes.

Lets go!

Passo 2

a) Inclinação da reta tangente à curva é dada por

d y d x = d y d θ d x d θ

Vamos começar pela derivada de y :

y = a sen 3 ⁡ θ

Aplicamos a regra da cadeia

d y d θ = d y d u . d u d θ

Temos que u = s e n   θ , logo y = a u 3 . Sendo assim

d y d u = 3   a u 2           e                 d u d θ = cos ⁡ θ

Substituindo

d y d θ = 3   a u 2 . cos ⁡ θ

Voltando para o termo original

d y d θ = 3   a . s e n ²   θ . cos ⁡ θ

Passo 3

Agora a derivada de x :

x = a cos 3 ⁡ θ

Aplicamos a regra da cadeia

d y d θ = d y d u . d u d θ

Temos que u = c o s   θ , logo y = a u 3 . Sendo assim

d y d u = 3   a u 2           e                 d u d θ = - sen ⁡ θ

Substituindo

d y d θ = - 3   a u 2 . sen ⁡ θ

Voltando para o termo original

d y d θ = - 3 a . c o s ²   θ . sen ⁡ θ

Passo 4

Substituindo na fórmula da reta tangente.

d y d x = d y d θ d x d θ

d y d x = - 3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

Fatorando os termos

d y d x = - sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - tan ⁡ θ

E tá aí a inclinação da nossa reta tangente em termos do parâmetro θ .

d y d x = - tan ⁡ θ

Passo 5

b) A reta tangente é horizontal em um ponto de uma curva quando a sua inclinação (ou taxa de variação vertical em relação à horizontal) é zero. Em outras palavras, isso significa que a reta tangente é paralela ao eixo horizontal (eixo x ) nesse ponto.

A reta tangente é horizontal quando

d y d x = d y d θ d x d θ = 0

Ou seja, apenas d y pode ser igual a zero, pois de d x der zero dará indeterminado.

d y d θ = 0

E vertical quando

d x d θ = 0

Então, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.

d y d x = - tan ⁡ θ = 0

Passo 6

Substituindo na parametrização na curva.

Para θ = n π

x = a cos 3 ⁡ n π = ± a

y = a sen 3 ⁡ n π = 0

Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( ± a , 0 )

Passo 7

Agora vamos ver quando a reta tangente é vertical.

d x d θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

cos 2 ⁡ θ = 0

θ = π 2 ​ + k π

Passo 8

Substituindo na parametrização na curva.

Para θ = π 2 ​ + k π  

x = a cos 3 ⁡ n π + k π 2 = 0

y = a sen 3 ⁡ n π + k π 2 = ± a

Portanto, a reta tangente é vertical nos pontos

P 2 = ( 0 , ± a )

Passo 9

c) Para a reta tangente ter inclinação igual a ± 1 precisamos que

d y d x = - tan ⁡ θ = ± 1

E isso ocorre quando

θ = n π 4

E os pontos em que isso ocorre são

x = a cos 3 ⁡ n π 4 = a ± 2 2 3 = ± a 2 4

y = a sen 3 ⁡ n π 4 = a ± 2 2 3 = ± a 2 4

Portanto, a reta tangente tem inclinação ± 1 nos pontos

P 3 = ± a 2 4 , ± a 2 4

Resposta

  1. d y d x = - tan ⁡ θ
  2. A reta tangente é horizontal nos pontos P 1 = ( ± a , 0 )

    3. A reta tangente é vertical nos pontos P 2 = ( 0 , ± a )

  3. A reta tangente tem inclinação ± 1 nos pontos

P 3 = ± a 2 4 , ± a 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - e t y = t + e - t
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s) com auxílio de uma ferramenta gráfica. x = cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t y = sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t ( - 1,1
Use um gráfico, com auxílio de uma ferramenta gráfica, para estimar as coordenadas do ponto mais baixo e do ponto mais à esquerda na curva x = t 4 - 2 t y = t + 6 t 4 A seguir, use o cálculo para enco
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado: x = t - t - 1 y = 1 + t 2 t = 1
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t + ln ⁡ t y = t - ln ⁡ t